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题库摘录：

平面及其方程

平面的点法式方程

设平面上一点Mo（×0，yo，z0）和它的一个法线向量n=（A，B，C），其平面方程表达式A（x-x0）+B（y-y0）+C（z-z0）=0此表达式又称平面的点法式方程.

平面的一般方程

方程Ax+By+Cz+D=0称为平面的一般方程，其中x，y，z的系数就是该平面的一个法线向量n的坐标，即n=（A，B C）.

（1）当D=0时，表示一个通过原点的平面；

（2）当A=0时，方程表示一个平行于（或包含）x轴的平面；同理，方程Ax+Cz+D=0和Ax+By+D=0分别表示平行于（或包含）y轴和z轴的平面；

（3）当A=B=0时，表示一个平行于（或重合于）xOy面的平面。同理，方程Ax+D=0和By+D=0分别表示一个平行于（或重合于）yOz面和xOz面的平面。

初等函数的连续性

（1）基本初等函数在它们的定义域内都是连续的。

（2）一切初等函数在其定义区间内都是连续的。

干、闭区间上连续函数的性质

函数f（x）在闭区间[a，b]上连续

如果函数f（x）在开区间（a，b）内连续，在右端点b左连续，在左端点a右连续，则函数f（x）就是在闭区间[a，b]上连续。

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一致连续性

（1）一致连续与连续的关系

如果函数f（x）在区间I上一致连续，则f（x）在区间I上一定连续；当f（x）在区间I上连续，f（x）在区间I上不一定一致连续。

（2）一致连续性定理

如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则它在该区间上一致连续。

求华氏温度（用F表示）和摄氏温度（用C表示）的转换公式，并求

（1）90F的等价摄氏温度和-5C的等价华氏温度；

（2）是否存在一个温度值，使华氏温度计和摄氏温度计的读数是一样的？如果存在，则该温度值是多少？

解：设F=mC+b，其中m，b均为常数。

因为F=32°相当于C=0°，F=212°相当于C=100°，所以b=32，m=（212-32）/100=1.8。

故F=1.8C+32或C=5（F-32）/9。

（1）F=90°，C=5（90-32）/9=32.2°。

C=-50，F=1.8x（-5）+32=23°。

（2）设温度值符合题意，则有t=1.8t+32，t=-40因此当温度值为-40°时，华氏温度计和摄氏温度计的读数是一样的。

两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之。

解：不一定。例如，a（x）=2x与B（x）=3x都是当x→0时的无穷小，但a（x）/β（x）=2/3却不是当x→0时的无穷小。

假设函数f（x）在闭区间[0，1]上连续，并且对[0，1]上任一点x有0Sf（x）≤1。试证明[0，1]中必存在一点c，使得f（c）=c（c称为函数f（x）的不动点）。

证：设F（x）=f（x）-x，则F（0）=f（0）≥0，F（1）=f（1）-150。

如果F（0）=0或F（1）=0，则0或1即为f（x）的不动点；如果F（0）>0且F（1）<0，则由零点定理，必存在cE（0，1），使F（c）=0，即f（c）=c，这时c为f（x）的不动点。

证明方程x=asinx+b，其中a>0，b>0，至少有一个正根，并且它不超过a+b。

证：设f（x）=x-asinx-b，则f（x）在闭区间[0，a+b]上连续，且f（0）=-b<0，f（a+b）=a[1-sin（a+b）]。当sin（a+b）<1时，f（a+b）>0，由零点定理，即知E（0，a+b），使f（）=0，即为原方程的根，它是正根且不超过a+b；当sin（a+b）=1时，f（a+b）=0，a+b就是满足条件的正根。

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